矩形能量應用於幾何非線性

呂啟明 技師

本報1194、1224與1235期，分別介紹矩形能量基本概念與其應用，於材料非線性之單雙層門架，本文再談矩形能量於幾何非線性(Geometric Nonlinear)之應用。幾何非線性，一般區分為大應力(Large Stress)與大變位(Large Displacement)效應，大應力效應即我們常說的P-Delta效應，其主要是因在大應力作用下，由於其側向位移(lateral displacement)，不管該位移很大或小，均會造成對整體結構的影響。以下就矩形能量應用於P-Delta效應，舉例分析。

以懸臂立柱如下圖1為說明，外內系統矩形能量平衡式1，成對變相如式2，柱頂受P壓力(向下)，則P力因側向變位Δ所造成的彎矩如式3，再除以柱高h，得水平剪力如式4，值得注意的是，透過此轉換，將垂直壓力轉成水平剪力，此P-Delta剪力，與原內彎矩對應的剪力強度方向相反，因此力平衡式改為式5，表示剪力強度因此減少，對應的能量改為式6，表示能量容量受損。

以案例1之懸臂立柱說明，其結構示意如圖1，除增加因靜載活載引起之柱頂軸壓力P，為10ton(向下)外，其餘結構條件，均與本報1194期案例A2.0相同。同樣地，分別利用LCM(LuChiMan綠奇門，Ref.-1)、與CSI (ETABS程式，Ref.-2)等兩方法，求取立柱之容量曲線(柱頂位移與基底剪力)。

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法：       

本例LCM分析方法，同本報1194期案例A2.0，僅列出各階段柱軸力如表1，其中柱軸力維持固定值，依據前述公式4，計算P-Delta反向剪力如表2，合併BaseV得水平剪力容量減少，如表2第4列。

 表1 各階段柱軸力

表2 懸臂立柱之容量曲線資料

圖2中之淺綠虛線，原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1194)；而綠色實線，則其再考慮P-Delta效應所得者，可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。

2.CSI(ETABS程式)方法：

CSI結構模型如圖3，同理將垂直力與水平力各指定為一種Case，例如SLG與SLX，如圖3為SLG-Case，SLX-Case同1194期案例A2.0。同樣地，先跑彈性分析，再依序跑SLG與SLX等兩靜力非線性側推分析，但SLX-Case須將SLG-Case設為從前次Case開始(Start from Previous Case)，意即在跑水平側力前，垂直力已經存在，SLG-Case亦需記得加入P-Delta效應。側推得門架容量曲線，如圖4中之紅色圓形實線，另外紅色圓形虛線，為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1194期)。

比較LCM與CSI等容量曲線如圖5，兩者完全重合，表LCM理論驗證可行。

再舉案例2，雙層門架說明，其結構示意如圖6，除增加因靜載活載引起之各柱頂軸壓力10ton外，其餘結構條件均與本報1235期(第3篇)案例1相同，同樣地分別利用LCM與CSI等兩方法，求取本門架之容量曲線。

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法：

本例LCM分析方法，同本報1235期之案例1，僅列出各階段柱軸力如下表3，其中柱軸力不再維持固定值，依據公式4，計算P-Delta反向剪力如表4，合併原始基底剪力(Base Shear)，得表4最後一列。

 表3 雙層門架之各階段柱軸力

表4 雙層門架之容量曲線資料

圖7中之淺綠虛線為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)，而綠色實線則其再考慮P-Delta效應所得者，可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。

2.CSI(ETABS程式)方法：

CSI結構模型如圖8，同前例先跑彈性分析，再依序跑SLG與SLX等兩靜力非線性側推分析，側推得門架容量曲線，如圖9中之紅色圓形實線，另外紅色圓形虛線，為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)。

比較LCM與CSI等容量曲線如圖10，兩者完全重合，其餘元素降伏破壞發生順序，同本報1235期說明，表示LCM理論驗證可行。

最後再舉案例3，說明2F先降伏破壞(同本報1235期中之案例2)，僅將1F柱尺寸轉90度與加強其PH外，其餘均同前案例2與前圖6說明，再分別利用LCM與CSI等兩方法求取例門架之容量曲線。

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法：

本例僅列出各階段柱軸力、與P-Delta反向剪力，分別如表5與6，再合併原始基底剪力Base Shear（本報1235期)，得表6最後一列。

 表5 雙層門架之各階段柱軸力

表6 雙層門架之容量曲線資料

圖11中之淺綠虛線，為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)，而綠色實線，則其再考慮P-Del效應所得者，可看出因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢。

圖11 雙層門架之容量曲線圖形(LCM)

2.CSI(ETABS程式)方法：

CSI結構模型同前例圖8，側推得門架容量曲線如圖12中之紅色圓形實線，另外紅色圓形虛線，為原始僅考慮材料非線性之容量曲線(本報1235期)。

圖12 雙層門架之容量曲線圖形(CSI)

比較LCM與CSI等容量曲線如圖13，可看出兩者因柱頂受壓而水平剪力容量下滑減少趨勢完全相同，至於衰減段部分與元素降伏破壞發生順序，同本報1235說明，表示LCM理論驗證可行。

圖13 雙層門架之LCM與CSI比較

P-Delta，為軸力乘以側向位移，不是矩形能量，透過矩形能量的轉換，將垂直壓力轉成水平剪力。而在軸力為壓力下，才會減損整體矩形能量，反之拉力則增加。這與人生哲學很像，壓力就像小人，因為小人才會給我們壓力，減損我們的信心能量；拉力像貴人，貴人才會拉我們一把，增加我們正向能量。LCM(LuChiMan綠奇門)，所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形，簡單易懂，非線性應用上只要加加減減就好，且可以正確解析外內之變位與力量等結果，並不馬虎(Ref.-1)，再一次顯示，矩形能量的可愛之處。 

參考文獻

Ref.-1  呂啟明，「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」，Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜，amazon.com)，Sep. 2019。

Ref.-2  Computer  Structure  Inc.，「CSI Analysis Reference Manual」，CSI，July 2010。

Ref.-3  呂啟明，矩形能量應用於材料非線性，技師報第1194期，民國108年10月26日。

Ref.-4  呂啟明，矩形能量應用於材料非線性-以單層門架為例，技師報第1224期，民國109年5月23日。

Ref.-5  呂啟明，矩形能量應用於材料非線性-以雙層門架為例，技師報第1235期，民國109年8月8日。