矩形能量應用於材料非線性-以雙層門架為例

呂啟明  土木、結構技師

本報1194期，曾探討矩形能量應用於材料非線性之基本概念；另於本報1224期，舉單層門架例說明矩形能量之應用。茲，再舉雙層門架為例說明不同樓層的相互存在關係，詳圖1。

內外矩形能量說明，同1224期。若取2F柱以上為自由體(Free Body)，結果得其如下式1與2，同理再取1F柱以上為自由體，亦可推得內外矩形能量平衡，得下式3與4，餘可參考Ref.-1。

接下來，我們以下圖2之案例1說明，其為一樓高3米6、二樓高3米、跨度5米之對稱雙層單跨柱底鉸接之門架，其中左右柱尺寸均為25x50cm，樑尺寸為30x60cm，彈性模數E值為2.0E+5kgf/cm2，參考樓層側力(floor force)RF與2F分別為2比1，左右兩柱之柱頂與柱底PH分別如下表1。而1F柱底因為鉸接，所以沒有彎矩PH，另外大樑假設強度很大，永遠保持彈性，所以亦沒有PH，本門架即所謂弱柱強樑者。分別利用LCM(LuChiMan綠奇門，Ref.-1)、與CSI (ETABS程式，Ref.-2)等兩方法，求取本例門架之容量曲線(RFL位移與1F基底剪力)。

表1  左右兩柱之PH

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法

本例參考載重(reference load)，由工程師自行指定RF與2F樓層側力分別為2.00與1.00ton，由彈性分析得門架側向位移與基底剪力之關係，如下表2；相關兩柱之彈性分析所得資料，如下表3。其中JBC為柱子彎矩轉自己者(Ref.-1或4)，所以為1.00。

表2  彈性分析_門架EB

表3  彈性分析_兩柱EB

應用前述公式，將兩柱之轉角θ與彎矩m，轉成側向變位Δ與水平剪力v，再經彈性修正(Ref.-1)，則EB+PH轉換後，如下表4，則各層柱頂與柱底之EB+PH圖形，分別如圖3、4、5中淺藍虛線。

表4  兩柱之EB+PH資料

圖3  2F柱頂EB+PH圖形		圖4   2F柱底EB+PH圖形
圖5  1F柱頂EB+PH圖形

節點強度，原則上是樑柱互制取小值者為控制，本例為弱柱強樑，所以柱之強度即代表節點者，如同上表4與上圖3至5，所示之綠色實線，故其與淺藍虛線重合。

樓層容量曲線，以屋頂變位(dis.RF)為樓層位移事件點，將所對應得到節點強度相加，2F與1F等容量曲線資料，得如下表5與6，再將各層容量均轉換到1F者，如圖6中之深藍與深綠等實線，分別表2F與1F之容量，注意其中2F轉換到1F者，需乘以樓層剪力比值1.5 (=3.0/2.0)。再以存正值者(Save Positive)相互比較，可看出1F容量值均小於2F，表示整結構由1F者控制，即降伏破壞均發生在1F柱頂，2F者均保持彈性，即圖6中深綠實線，意為最後求得本例門架之容量曲線。

表5  2F之容量曲線資料

表6  1F之容量曲線資料

2.CSI(ETABS程式)方法

CSI結構模型如圖7，參考載重於RFL、2FL，各施加2.0與1.0ton，同前EB與PH等基本資料輸入程式後，先跑彈性分析，再跑側推分析(Pushover)，得門架初始降伏與最終破壞等變形，如圖8，再得門架容量曲線，如圖9中之紅色圓形實線。

圖7  結構模型圖(CSI)		圖8  初始降伏與最終破壞等變形圖(CSI)

比較LCM與CSI等容量曲線，如下圖9，兩者完全重合，再者如上圖8，說明1F柱頂先發生降伏，最後亦由1F柱頂發生破壞，2F從頭至尾均保持在線彈性，這與前述LCM方法所得結果相同，表LCM理論驗證可行。

再舉案例2，同案例1，僅將1F左右柱尺寸轉90度改為50x25cm，並提高1F柱頂之PH如下表7，其餘不變。同樣地，分別利用LCM與CSI等兩方法，求取本例門架之容量曲線。

表7  C1與C2等柱之1F左右柱頂PH

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法

同案例1方式，求得2F與1F等容量曲線，再將各層容量均轉換到1F者，如下表8與圖10中之深藍與深綠等實線，分別表2F與1F等容量，可看出2F柱頂先降伏，再來1F柱頂降伏，兩線交點(8.243cm)以後，均由2F柱頂與柱底控制，所以下表9與圖11中深綠實線，意為最後求得本例門架之容量曲線。

表8  2F與1F等容量曲線資料

表9  案例2整體容量曲線資料

2.CSI(ETABS程式)方法

同案例1，先跑彈性分析再跑側推分析，得門架初始降伏與最終破壞等變形，如圖12，再得門架容量曲線，如圖13中之紅色圓形實線。

比較LCM與CSI等容量曲線，如下圖13，兩者除衰減段外，幾乎完全重合，再如上圖12，說明2F柱頂先發生降伏、最後亦由2F柱頂與柱底發生破壞時，1F柱頂從頭至尾，均保持在降伏段未進入衰減段，這與前述LCM方法所得結果相同；而下降段不同原因，CSI卸載方式之變位，為對應求得非理論解析，且並無考慮1F與2F交點(8.243cm)後樓層互制，所以其變位接近LCM求得1F者，如圖10之綠色實線，所以LCM理論驗證可行並優於CSI。

綜合本報1194與1124等期探討，LCM(LuChiMan綠奇門)所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形，簡單易懂；非線性應用上，只要加加減減就好，且可以正確解析外內之變位與力量等結果，並不馬虎(Ref.-1)，且優於CSI卸載中變位僅對應無互制，再一次顯示矩形能量的可愛之處。

參考文獻

Ref.-1  呂啟明，「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」，Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜，amazon.com)，Sep. 2019。

Ref.-2  Computer  Structure  Inc.，「CSI Analysis Reference Manual」，CSI，July 2010。

Ref.-3  呂啟明，矩形能量應用於材料非線性，技師報第1194期，民國108年10月26日。

Ref.-4  呂啟明，矩形能量應用於材料非線性-以單層門架為例，技師報第1224期，民國109年5月23日。