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技師報於85年11月18日土木日創刊
新聞局出版事業登記證局版省報字第48號


中華民國一○九年八月八日

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本期主筆:賴建宏
執行編撰:李惠華
文字記者:許素梅

矩形能量應用於材料非線性-以雙層門架為例

呂啟明  土木、結構技師

本報1194期,曾探討矩形能量應用於材料非線性之基本概念;另於本報1224期,舉單層門架例說明矩形能量之應用。茲,再舉雙層門架為例說明不同樓層的相互存在關係,詳圖1

雙層單跨門架

內外矩形能量說明,同1224期。若取2F柱以上為自由體(Free Body),結果得其如下式12,同理再取1F柱以上為自由體,亦可推得內外矩形能量平衡,得下式34,餘可參考Ref.-1

接下來,我們以下圖2之案例1說明,其為一樓高36、二樓高3米、跨度5米之對稱雙層單跨柱底鉸接之門架,其中左右柱尺寸均為25x50cm,樑尺寸為30x60cm,彈性模數E值為2.0E+5kgf/cm2,參考樓層側力(floor force)RF2F分別為21,左右兩柱之柱頂與柱底PH分別如下表1。而1F柱底因為鉸接,所以沒有彎矩PH,另外大樑假設強度很大,永遠保持彈性,所以亦沒有PH,本門架即所謂弱柱強樑者。分別利用LCM(LuChiMan綠奇門,Ref.-1)、與CSI (ETABS程式,Ref.-2)等兩方法,求取本例門架之容量曲線(RFL位移與1F基底剪力)

案例1之結構系統

 

左右兩柱之PH

2FC1top A B C D E
2FC2top
θ(rad) 0 0 0.015 0.025 0.075
m(t-cm) 0 900 900 300 300
2FC1bot A B C D E
2FC2bot
θ(rad) 0 0 0.015 0.025 0.075
m(t-cm) 0 900 900 300 300
1FC1top A B C D E
1FC2top
θ(rad) 0 0 0.018 0.027 0.081
m(t-cm) 0 1800 1800 600 600

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法

本例參考載重(reference load),由工程師自行指定RF2F樓層側力分別為2.001.00ton,由彈性分析得門架側向位移與基底剪力之關係,如下表2;相關兩柱之彈性分析所得資料,如下表3。其中JBC為柱子彎矩轉自己者(Ref.-14),所以為1.00

彈性分析_門架EB

 Floor F V ratio Dis. Δ
RFL 2 2 0.67 2.27 0.278
2FL 1 3 1 1.992 1.992

 

彈性分析_兩柱EB

Element Unit dis/Mref Kdis JBC
2FC1_Top cm 2.27 73.84  
2FC2_Top kgf-cm 167.61 *1.00
2FC1_Bot cm 2.27 58.32  
2FC2_Bot kgf-cm 132.39 *1.00
1FC1_Top cm 2.27 237.89  
1FC2_Top kgf-cm 540 *1.00

應用前述公式,將兩柱之轉角θ與彎矩m,轉成側向變位Δ與水平剪力v,再經彈性修正(Ref.-1),則EB+PH轉換後,如下表4,則各層柱頂與柱底之EB+PH圖形,分別如圖345中淺藍虛線。

兩柱之EB+PH資料

Element Unit A B C D E
2FC1_Top cm 0 12.189 16.689 11.563 26.563
2FC2_Top ton 0 3 3 1 1
2FC1_Bot cm 0 15.432 19.932 12.644 27.644
2FC2_Bot ton 0 3 3 1 1
1FC1_Top cm 0 7.566 14.046 12.247 31.687
1FC1_Top ton 0 5 5 1.67 1.67

 

 
3  2F柱頂EB+PH圖形    2F柱底EB+PH圖形
     
   
5  1F柱頂EB+PH圖形    

節點強度,原則上是樑柱互制取小值者為控制,本例為弱柱強樑,所以柱之強度即代表節點者,如同上表4與上圖35,所示之綠色實線,故其與淺藍虛線重合。

樓層容量曲線,以屋頂變位(dis.RF)為樓層位移事件點,將所對應得到節點強度相加,2F1F等容量曲線資料,得如下表56,再將各層容量均轉換到1F者,如圖6中之深藍與深綠等實線,分別表2F1F之容量,注意其中2F轉換到1F者,需乘以樓層剪力比值1.5 (=3.0/2.0)。再以存正值者(Save Positive)相互比較,可看出1F容量值均小於2F,表示整結構由1F者控制,即降伏破壞均發生在1F柱頂,2F者均保持彈性,即圖6中深綠實線,意為最後求得本例門架之容量曲線。

5  2F之容量曲線資料

RF Dis-RF 0 12.189 15.432 16.689 16.706 19.932 19.952 26.562 27.643
2F-Sum ΣVi= 0 10.74 12 12 8 8 4 4 4
2FC1_Top Vi= 0 3 3 3 1 1 1 1 1
2FC2_Top Vi= 0 3 3 3 1 1 1 1 1
2FC1_Bot Vi= 0 2.37 3 3 3 3 1 1 1
2FC2_Bot Vi= 0 2.37 3 3 3 3 1 1 1

 

6  1F之容量曲線資料

2FL Dis-RF 0 7.566 14.046 14.06 31.686
1F-Sum ΣVi= 0 10 10 3.34 3.34
1FC1_Top Vi= 0 5 5 1.67 1.67
1FC2_Top Vi= 0 5 5 1.67 1.67

 

各層轉換至1F(Save Positive)

2.CSI(ETABS程式)方法

CSI結構模型如圖7,參考載重於RFL2FL,各施加2.01.0ton,同前EBPH等基本資料輸入程式後,先跑彈性分析,再跑側推分析(Pushover),得門架初始降伏與最終破壞等變形,如圖8,再得門架容量曲線,如圖9中之紅色圓形實線。

 
結構模型圖(CSI)   初始降伏與最終破壞等變形圖(CSI)

比較LCMCSI等容量曲線,如下圖9,兩者完全重合,再者如上圖8,說明1F柱頂先發生降伏,最後亦由1F柱頂發生破壞,2F從頭至尾均保持在線彈性,這與前述LCM方法所得結果相同,表LCM理論驗證可行。

9   LCMCSI比較(Not Save Positive)

再舉案例2,同案例1,僅將1F左右柱尺寸轉90度改為50x25cm,並提高1F柱頂之PH如下表7,其餘不變。同樣地,分別利用LCMCSI等兩方法,求取本例門架之容量曲線。

7  C1C2等柱之1F左右柱頂PH

1FC1top A B C D E
θ(rad) 0 0 0.018 0.027 0.081
m(t-cm) 0 3000 3600 1200 1200
1FC2top A B C D E
θ(rad) 0 0 0.018 0.027 0.081
m(t-cm) 0 3000 3600 1200 1200

 

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法

同案例1方式,求得2F1F等容量曲線,再將各層容量均轉換到1F者,如下表8與圖10中之深藍與深綠等實線,分別表2F1F等容量,可看出2F柱頂先降伏,再來1F柱頂降伏,兩線交點(8.243cm)以後,均由2F柱頂與柱底控制,所以下表9與圖11中深綠實線,意為最後求得本例門架之容量曲線。

8  2F1F等容量曲線資料

RF-dis' 0 5.042 6.383 9.542 9.191 10.883 9.639 24.181 24.627
2F→1F 0 16.11 18 18 12 12 6 6 6
RF-dis' 0 5.217 12.743 11.819 31.245        
1F→1F 0 16.66 20 6.66 6.66        

 

10  各層轉換至1F(Save Positive)

 

案例2整體容量曲線資料

破壞點 原點 2F柱頂 1F柱頂 交點 2F柱頂 2F柱頂 2F柱底 2F柱底 2F柱頂 2F柱底
Dis.RF 0 5.042 5.217 8.243 9.542 9.191 10.883 9.639 24.181 24.627
1F→1F 0 16.11 16.66 18 18 12 12 6 6 6

 

11  案例2整體容量曲線資料(Not Save Positive)

 

2.CSI(ETABS程式)方法

同案例1,先跑彈性分析再跑側推分析,得門架初始降伏與最終破壞等變形,如圖12,再得門架容量曲線,如圖13中之紅色圓形實線。

12  初始降伏與最終破壞等變形圖(CSI)

比較LCMCSI等容量曲線,如下圖13,兩者除衰減段外,幾乎完全重合,再如上圖12,說明2F柱頂先發生降伏、最後亦由2F柱頂與柱底發生破壞時,1F柱頂從頭至尾,均保持在降伏段未進入衰減段,這與前述LCM方法所得結果相同;而下降段不同原因,CSI卸載方式之變位,為對應求得非理論解析,且並無考慮1F2F交點(8.243cm)後樓層互制,所以其變位接近LCM求得1F者,如圖10之綠色實線,所以LCM理論驗證可行並優於CSI

13   LCMCSI比較

綜合本報11941124等期探討,LCM(LuChiMan綠奇門)所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形,簡單易懂;非線性應用上,只要加加減減就好,且可以正確解析外內之變位與力量等結果,並不馬虎(Ref.-1),且優於CSI卸載中變位僅對應無互制,再一次顯示矩形能量的可愛之處。

參考文獻

Ref.-1  呂啟明,「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」,Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜,amazon.com)Sep. 2019

Ref.-2  Computer  Structure  Inc.,「CSI Analysis Reference Manual」,CSIJuly 2010

Ref.-3  呂啟明,矩形能量應用於材料非線性,技師報第1194期,民國1081026日。

Ref.-4  呂啟明,矩形能量應用於材料非線性-以單層門架為例,技師報第1224期,民國109523日。

 

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