高樓之非線性動力耐震分析

王慶忠 技師

前言

以有限元素法為基礎，輔以新建之離散元素與介面元素，自行開發可作地震動力分析之程式，依各結構元件其材料性質不同之需求，模擬時可涵蓋線性、非線性各種力學行為；分析技術曾應用於橋樑、地鐵車站等，深入探討結構碰撞、土壤結構互制等，已於國際期刊發表研究成果。

理論介紹

鋼筋混凝土(RC)與鋼骨建造之高樓，假設受地震波而於側向振動時，可視各層樓板為剛性隔膜，各樓層則為剪力式變形；為快速估算地震時動力反應，今模擬各層重量分派於各樓板，集中成為各質量點，每樓層之柱、牆、斜撐等，依照各自側力-側移曲線，各為具有遲滯迴圈之並聯彈塑性彈簧元素(惟磚牆降伏後不計遲滯消能)；每樓層之油壓阻尼器(FVD)，依照其斜角，將軸向之阻尼力vs.速度公式，轉換成黏滯阻尼元素之側向力vs.側向速度公式，同型號FVD視為並聯。根據每層樓高與每層內各柱斷面型式，分類為各組「同型柱」，逐層快速輸入材料與斷面之參數，同型柱納入軸力影響，依其參數求出彎矩vs.曲率曲線，轉換為側力vs.側移曲線，包括降伏點與極限點；次要之側力抵抗構件，如磚牆、混凝土牆、鋼斜撐，分類為各組「同型構件」，逐層快速輸入其相關參數，亦求出同型構件之側力vs.側移曲線。完成輸入各層集中質量、各層同型柱、牆、斜撐等彈簧元素、各層同型阻尼元素、及地震加速度檔後，於各時間階段，依照各樓板質點於側向振動下之位移、速度、及加速度，逐件逐層組合慣性力、彈簧力、阻尼力，成為總體結構之聯立運動方程式組；採用Runga-Kutta四階時間積分法^[2]，逐步求出各時間之各層變位與各層各同型構件(柱、牆、斜撐、阻尼器)之反應。

本文介紹自行開發之程式^[2]，可以預測高樓結構於各種地震波振動時，各層各構件之動力反應，含歷時之變形與內力。近年來提昇高樓耐震能力之先進工法，為於其剛構架系統外掛各種消能元件，屬於位移型消能器，由彈塑性彈簧元素模擬；屬於速度型消能器，由黏滯阻尼元素模擬，應用此程式快速建模執行非線性動力分析，可以有效選用各型消能器規格與其佈設方式。

快速建模

為快速建立分析模型，由下層起連續往上層檢視，每層間之抵抗側力構件，取同型者輸入資料，依材料與行為分類說明：

一、RC造建築之同型柱：指斷面尺寸配筋與柱高相同者成為一組，可連續達數個樓層；同型柱之軸力依照樓層不同，由所在樓層與承載樓面比算出之(各層重量與層高已先輸入)；每層柱高參考建築側立面圖，柱尺寸、主筋號數與支數、箍筋號數與間距、混凝土強度、鋼筋強度等，參考柱配筋斷面圖，同型柱分組參考結構平面圖，例如輸入資料

  C9 1~1 60x80 #4@10 16#10 6#8  310  x12  0.21  4.2  0.45

  C9 2~7 60x80 #4@10 16#10 6#8  370  x12  0.21  4.2  0.45

  (說明：柱C9，2至7樓，12支同型，承載樓面比0.45)

二、鋼骨造建築之同型柱：指斷面尺寸與柱高相同者為一組，可連續達數個樓層，仍須依照樓層計算個別層之柱軸力(如前述RC柱)，輸入資料包括：每層同型柱支數、柱高、某低層、直達某高層、翼板寬、全深、翼板厚、腹板厚、及降伏強度，下一組…重復如以上。

三、 速度型消能器：油壓阻尼斜撐(粘滯阻尼力公式F = sgn(V) C|V|^α，且|F| < F_max)，輸入資料包括：每層支數、某低層、直達某高層、斜長、斜角、及C、F_max、α參數，下一組…重復如以上。

四、位移型消能器：鋼製斜撐(軸向力公式F = A_x σ，彈性至塑性段，分段斜率)，輸入資料包括：每層支數、某低層、直達某高層、斜長、斜角、及 E₀、E_T、A_x、 σ_yield 參數，下一組…重復如以上。

五、紅磚牆：輸入資料包括每層牆片數、某低層、直達某高層、牆片圍束型(3面或4面)、寬、高、厚(cm)、磚強度、砂漿強度 (kg/cm²)、磚尺寸: 長、寬、厚(cm)、及灰縫厚度: 水平、垂直(cm)，下一組…重復如以上。

六、混凝土牆：輸入資料包括每層牆片數、某低層、直達某高層、牆片圍束型(3面或4面)、寬、高、厚(cm)、及混凝土強度 (kg/cm²)，下一組…重復如以上。

元件驗證

圖1為高樓之各種結構元件，其側向力vs.側位移之通用曲線。為驗證各元件實用性，表1顯示各自之通用曲線計算結果，該表內結構元件其原始輸入檔(單位如前)之說明如下：

一、磚牆：2片/層、3~4樓、3面圍束型、牆尺寸450x180x23、強度：紅磚150、砂漿100、磚尺寸23x11x6、灰縫厚度：水平0.8 垂直1.0。

二、鋼斜撐：2片/層、1~2樓、斜長450、斜角40、E₀ 2100、E_T 210、A_x 12、σ_yield 2.520。

三、鋼柱：支數4、柱高360、1~2樓同型、AISC型鋼(W33x141)尺寸：29.3x 84.58x2.438x1.537、降伏強度2.536、承載樓面比1.0。(共4樓每樓靜重144 ton)

四、RC柱：柱C9、1~1層同型、斷面60x80、箍筋#4@10、主筋16#10  6#8、柱高310、支數12、混凝土強度0.21、鋼筋強度4.2、承載樓面比0.45。(每樓靜重如後之案例)

表1  側向力vs.側位移通用曲線計算

應用案例

此例為一RC造教學大樓，典型之結構平面如圖2，計有地下1層及地上6層。查其柱配筋圖有C1~C20共20種柱號，柱斷面尺寸有60x60及60x80公分，各斷面主筋有兩種號數，每一柱號往上層配筋有減量，最後共計68種同型柱。B1FL在GL-2.2M，1FL高出地面在GL+2.0 M，保守取水平地震波之輸入基面在GL-3.1M，且取1FL靜重亦為一振動質量。共取7層振動質量(2FL有挑空)，1FL~RFL依序樓板質量(Ton): 1322, 930, 4@1322, 1102，樓層高(cm): 310,6@370。

加掛油壓阻尼斜撐之佈置：B1FL~3FL每層10(20)支，每支長380 cm、斜角35度、C=1128 kN/(m/sec)、F_max =949kN、α=0.15；4FL~6FL每層10(20)支，每支長400 cm、斜角40度、C=1128 kN/(m/sec)、F_max =949kN、α=0.15。本例對磚牆簡化處理， 將其質量配屬到各層樓板振動質量，不計磚牆之遲滯消能。地震波沿結構平面之短向輸入，取用921大地震台中測站所得地震加速度記錄如圖3。

動力分析使用前述之程式，各RC柱為雙曲率變形且柱端具塑性鉸行為，當側力使斷面材料超過彈性後，啟動「動性硬化律」塑性遲滯迴圈消能，在側力反向時為彈性卸載，直至反向啟動塑性。阻尼器(FVD)則提供流體粘滯消能，圖4顯示屋頂側移歷時反應，共三條曲線分別表示：一、未裝阻尼器，最大側移17.2 cm；二、每層10支FVD，最大側移14.4 cm；三、每層20支FVD，最大側移9.1 cm。RC柱之檢核包含剪力強度、極限側移、及層間位移比，可在分析各階段時，追蹤該樓層之柱(彈簧)內力與樓板(質點)位移之輸出結果而得知。

結論

RC及鋼骨造之建築，各柱依照材料性質參數，以彈塑性理論求出各彎矩vs.曲率曲線，各斜撐依其規格參數，取軸向力vs.軸向伸縮之關係，於分析地震引致之側移時，均轉換為側力vs.側移曲線；對油壓阻尼器，則提供一通用型號之側力vs.側向速度公式。故整體結構於地震下振動時，涵蓋位移型及速度型消能。

進行非線性動力分析時，係使用實測地震波輸入，針對結構補強所外掛各型消能元件，如挫屈束制斜撐、低降伏鋼斜撐(格板)、油壓阻尼器等，可於各樓層中先作測試佈置，反復分析可提供最佳化設計；又可輸入不同地震波，評估已選用消能元件，對各特性相異振動波之有效性。

參考文獻

　1.鍾立來、葉勇凱、簡文郁等（2009）。校舍結構耐震評估與補強技術手冊，國家地震工程研究中心，NCREE-2009-023.

　2.Wang CJ, Performance-based design for a tall-pier bridge prototype in massive earthquakes, ASCE Journal of Performance of Constructed Facilities 2013, Vol. 27, Issue 5.

圖1  結構元件之側向力vs.側位移通用曲線		圖2   應用案例之1FL結構平面
圖3  輸入之地震加速度記錄		圖4  屋頂側移歷時反應