矩形能量應用於材料非線性-以斜撐門架為例

呂啟明  技師

 本報1194、1224、1235與1240等期，分別探討矩形能量應用於材料以及幾何非線性之基本概念、單雙層門架等，本期主要介紹矩形能量應用於斜撐(Diagonal brace)，如下圖1之斜撐為例說明。

一承受水平外力F之斜撐，其與水平軸夾角為θ，則由力平衡如下式1，其中小寫f為斜撐軸力，左右各乘水平位移Δ，得外內矩形能量相等如下式2，其中δ為斜撐軸向變位，參考前述本報或Ref.-01可得成對變相如下式3。

茲直接舉下圖2為案例1說明，其為一樓高3米6、跨度5米之對稱單層單跨柱底鉸接之斜撐門架，其中柱梁尺寸材質同本報1235期之案例1，左右兩柱之柱頂與柱底PH(Plastic Hinge，塑鉸)亦同該期者，而1F柱底因為鉸接，所以沒有彎矩PH，另外大梁假設強度很大，永遠保持彈性，所以亦沒有PH。而斜撐尺寸為12x12cm，彈性模數E值為1.2E+5 kgf/cm²，兩端樞接(pinned connection)，軸向PH如下表1所示。分別利用LCM(LuChiMan綠奇門，Ref.-1)與CSI(ETABS程式，Ref.-2)等兩方法，求取本斜撐門架之容量曲線(2FL位移與1F基底剪力)。

表1  斜撐之PH

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法：

參考前述本報或Ref.-01等方式，直接得門架側向位移與基底剪力之關係如下表2，其中破壞點符號，分別表示樓層元素編號_PH位置_進入破壞點，如1FD1_m_B表示：1F斜撐編號D1_PH在元素中間_進入B點，以此類推。

表2 1F之容量曲線資料

表2說明LCM方法：1F斜撐先進入BC兩點、再由1F柱頂進入BC兩點、以及1F斜撐再進入DE兩點，最後由1F柱頂進入DE兩點致整斜撐門架破壞，如下圖3所示。

2.CSI(ETABS程式)方法：

CSI結構模型如圖4，利用前述本報或Ref.-01等方式，得門架初始降伏與最終破壞等變形，如圖5等六圖(由上而下由左而右依序排列)，以及其容量曲線如圖6與7中之紅色圓形實線，其中圖6紅線僅為前段，表斜撐破壞至E點，圖7者才表全段。

比較LCM與CSI等容量曲線，如下圖6與7，斜撐破壞至E點前兩者完全重合，如上圖5中Step1、2、5、6、7，與前述表2之LCM法所得結果相同。但1F斜撐進入DE兩點後，CSI法之基底剪力卻逆勢上揚，如下圖7紅線，不符力學破壞理論、不甚合理；而LCM法則最後由1F柱頂進入DE兩點，強度緩緩下降致整斜撐門架破壞，尚符力學破壞理論、較為合理，表示LCM理論驗證可行。

再舉案例2如下圖8，同案例1再增加1層為二層樓斜撐門架，二樓高3米，二樓斜撐之PH如下表3，其餘均同前1235期與本期之案例1。同樣地，分別利用LCM與CSI等兩方法，求取本斜撐門架之容量曲線(RFL位移與1F基底剪力)。

表3 斜撐之PH

1.LCM(LuChiMan綠奇門)方法：

同樣利用LCM理論，求得2F與1F等容量曲線，再轉換到1F基底剪力分別如下表4與5，兩圖相互比較如下圖9中之深藍與深綠等實線，初步研判整個系統由1F者控制，如圖兩者交點為2F斜撐中點進入E點(2FD1_m_E)，但過程中2F斜撐連B點(降伏)均未進入，故斜撐不能直接跳E點，所以LCM理論判斷：2F柱頂頂底與斜撐均未破壞，保持彈性，故下表6與圖10中深綠實線，意為LCM最後求得本例門架之容量曲線。

表4  2F轉換至1F之容量曲線資料

表5 1F轉換至1F之容量曲線資料

表6 案例2整體容量曲線資料

2.CSI(ETABS程式)方法：

CSI結構模型如下圖11，同前方式得門架1F斜撐柱頂開始破壞、與最終2F斜撐柱頂柱底開始破壞之變形，如下圖12，以及其容量曲線如下圖13與14中之紅色圓形實線，其中圖13紅線僅為前段，前後兩平台分別表1F與2F進入降伏破壞，圖14者才表全段，後段強度一直上升。

比較LCM與CSI等容量曲線，如下圖13與14中之綠色方形與紅色圓形等實線，兩者在1F斜撐進入BC兩點幾乎完全重合，1F柱頂降伏平台強度亦同、僅變位斜率稍有不同。而CSI側推出2F會進入降伏平台，且比1F者高，筆者覺得很不合理，因要讓2F破壞的力量大於1F者，表示2F破壞前1F早已經壞光了，這說明也由前述LCM方法判斷一致，更何況CSI法後段強度還上升發散，所以LCM理論驗證可行並優於CSI者。

綜合本報1194、1124、1235、1240與本期等，LCM(LuChiMan綠奇門)所發想的外內力平衡系統，其矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形，簡單易懂，非線性應用上只要加加減減就好，且可以正確解析外內之變位與力量等結果，並不馬虎(Ref.-1)，且優於CSI卸載中可能發散，再一次顯示矩形能量的可愛之處。

Reference 參考文獻                                              

Ref.-1      呂啟明，「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」，Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜，amazon.com)，Sep. 2019。

Ref.-2      Computer  Structure  Inc.，「CSI Analysis Reference Manual」，CSI，July 2010。

Ref.-3      呂啟明，矩形能量應用於材料非線性，技師報第1194期，民國108年10月26日。

Ref.-4      呂啟明，矩形能量應用於材料非線性-以單層門架為例，技師報第1224期，民國109年5月23日。

Ref.-5      呂啟明，矩形能量應用於材料非線性-以雙層門架為例，技師報第1235期，民國109年8月8日。

Ref.-6      呂啟明，矩形能量應用於幾何非線性，技師報第1240期，民國109年9月12日。