吊橋主索

垂度精確計算之有限元素分析探討

王慶忠 技師

前言

常見人行吊橋位於登山步道之入進口處，吊橋跨距兩端不一定是同一高程，故從右岸與左岸量起，主索於最低處垂度分別不同，新式之臥床式吊橋便是如此。一般吊橋設計，主要考量是給定兩條主索之直徑與抗拉強度，查核其承受設計靜載重與設計活載重之總合。

一般結構計算書，須作靜力平衡計算，查核單支主索承受靜重與活重之合總拉力，是否小於抗拉強度。然而，計算分析主索總拉力，常見之錯誤態樣為：將靜載重下之主索外型，視做活載重下的幾何型態，而藉以進行靜力平衡計算；事實上，兩者載重下的幾何型態是不相同的，靜重與活重不得採一次疊加，來計算主索之變形與索張力。

正確的吊橋主索結構分析作法

　1.靜載重之力平衡與活載重之力平衡，分析時，分別為兩個階段。

　2.靜載重時主索張力與懸垂度，影響主索外型。然而，竣工後主索懸垂度與設計之懸垂度，兩者亦不盡相同，故需於現場進行主索外型實際量測幾何形狀，方得進行活重之加載。

　3.先完成靜載重靜力平衡與主索拉力平衡計算，以此作為吊橋承受活重時主索之預拉力。

　4.建立主索之幾何非線性有限元模型，施加活載重，進行力平衡與下垂度計算。

　5.另作現地模擬活載重之加載試驗，量測主索變形下垂度，以驗證有限元模型與分析之正確性。

研究目的

目前結構技師計算吊橋主索之安全荷重，多以靜力平衡時之受力為主，並侷限於分佈載重，略去集中荷重，亦略去主索承受活重時，總下垂度之計算；因未將主索其變形納入結構計算，一者造成最大索張力之計算誤差，二者無法評估吊橋性能指標：包括最大下垂度與集中力作用下之變形等。

本文介紹簡易之兩結點軸力元素，並計入元素承受預拉力之「張力加勁」效應後，所產生之橫向勁度，應用於吊橋主索在於活載重加載之下垂度之精確計算；並引用臺灣大學土木系楊永斌教授等，其著作之SCI期刊論文中之吊索例題，予以重新計算，解答互相對照，以證實有限元素程式之正確性。

理論推導

本文為纜索結構分析，已開發一套有限元素程式，此課題屬於結構學理論之幾何非線性之典型題；由組合元素勁度矩陣起、施加載重向量、至求解結點位移向量止，需以遞增加載方式，並更新元素勁度；總體結構勁度方程式，採用「牛頓逼近法」迭代之，使內外力平衡，以求解結點位移向量。

元素勁度之介紹如下：

兩結點軸力元素之軸向勁度為K_a = E A / L，其中E：楊氏係數，A：斷面積， L：元素長度；經過張力 T₀加勁後，該元素產生之橫向勁度為K_v = T₀ / L，合併兩方向勁度，得一4 x 4 元素勁度矩陣。

求解時，須追蹤各元素之位置座標，繼取二維座標轉換，即可更新各元素勁度方程式，組成下一迭代時之總體結構勁度方程式。

程式驗證

例題一：直線索先施預力之後，承受均佈自重與一垂直集中力之分析

原直線長度 =990 ft，施預力後長度 =1000 ft，自重：3.16 lb/ft，加載垂直集中力8 kips 於左起400 ft處。纜索斷面積：0.85 in²，彈性係數：19 x 10⁶ psi。

1.楊教授之SCI期刊論文解集中力處之位移：向下13.539 ft，向左 0.075 ft。

2.有限元分析用20個元素解集中力處之位移：向下 4.131 m (= 13.553 ft)，向左0.0231 m (= 0.0758 ft)。

例題二：承受均佈自重下自平衡懸垂之曲線索，承受一垂直集中力之分析

曲線水平跨度 =1000 ft，自重 =3.16 1b/ft，曲線懸垂度 =100 ft，加載垂直集中力8 kips 於左起400 ft處。纜索斷面積：0.85 in² ，彈性係數：19 x 10⁶ psi。

1.楊教授之SCI期刊論文解集中力處之位移：向下18.456 ft，向左2.819 ft。

2.有限元分析用20個元素解集中力處之位移：向下 5.615 m (= 18.422 ft)，向左0.862 m (= 2.828 ft)。

例題三：係展示所開發程式之非線性分析功能

　1.表1為以例題二建立之有限元模型再分析，亦可同時求得任選其他結點處之位移，而得以評估於活載重下整支主索之變形量。一般結構分析時採取之疊加原理，在此幾何非線性分析問題已不能成立。

　2.將例題二楊教授等之論文例題，其垂直集中力P現在增為2P，結果請參閱圖1、圖2；於結點13，加載集中力 2P之前與之後時，其Y-座標分別為1.205 m與 -5.206 m，故集中力處之總下垂度為 6.411m無誤。

結語

本文目的，要在強調纜索承受載重之幾何非線性特性，會影響其變形與受最大索張力。採取有限元素法分析，可計算纜索結構到達平衡時，各種載重變化下之水平與垂直位移之變化，而且纜索張力變化亦可求出。

以此建立具有非線性分析纜索之程式，可用於協助吊橋之載重安全評估，工作步驟至少可包含：

1主索外型測量工作 (如圖3、圖4)。

2活載重現地加載試驗。

3結構承載力與最大下垂度分析。

4吊橋錨座與護纜安全檢測。

日後工程實務上，倘有人行吊橋之案例：如不對稱纜索配置，不對稱分佈載重，多點集中載重，連跨纜索配置等，歡迎工程先進，提供纜索結構之基本資料，以便示範有限元分析模型與計算成果。

參考文獻

　1.Y.B.Yang, J.Y.Tsay, Geometric nonlinear analysis of cable structures with atwo-node cable element by generalized displacement control method, Int. J.Struct. Stabil. Dyn.7 (2007) 571–588.

表1   於一結點13加載P(= 35.586 kN)時，各結點位移量(m)

表2 於不同結點加載P(= 35.586 kN)時，各該結點位移量(m)與索張力(kN)

圖1  纜索有限元模型		圖2  集中(2P)載重下變形圖
圖3  人行吊橋全景圖		圖4  影像處理後主索外型各點位