談矩形能量應用於門型構架

以單層門架為例

呂啟明  土木、結構技師

本報1194期曾探討矩形能量應用於材料非線性之基本概念，本期賡續探討矩形能量應用於門型構架(Portal Frame，以下簡稱門架)，如房屋結構中的樑柱構架、或橋樑結構中的橋墩構架，以單層單跨門架如圖1為例。

前述的矩形能量主要著重於柱元素，而門架除柱以外還有樑元素，其提供門架勁度與強度，而樑與柱匯集點稱為節點(node)如圖2，為上、下柱與左、右樑之交點。

當層於同一節點之強度大小，取決於下柱與左、右樑之強度等，3者之最小值，即樑柱強度互制(interaction)，我們將該最小強度值表現於下柱(即該柱頂)，而在同一線彈性結構EB(Elastic Body，以下簡稱EB)、與相同載重下，節點中之上、下柱與左、右樑之內力，呈現一固定的比例，定義JBC為節點樑柱轉換因子，即將樑彎矩轉換為柱頂彎矩如下式7，同理，柱頂轉換本身柱頂彎矩則為1.00如下式8。

接下來以圖3之案例說明，其為樓高3米6、跨度5米之對稱(Symmetric)單層單跨柱底鉸接之門架，其中左右柱尺寸為25x50cm，樑尺寸為30x60cm，彈性模數E值為2.0E+5kgf/cm2，樓層側力如圖3向右，左右兩柱之柱頂塑鉸(Plastic Hinge，以下簡稱PH)分別如表1，而柱底因為鉸接(hinge)，所以沒有PH，另外大樑假設強度很大，分析過程均保持彈性，所以亦沒有PH，本門架即所謂弱柱強樑者。分別利用LCM(LuChiMan綠奇門，Ref.-1)與CSI (ETABS程式，Ref.-2)等兩方法，求取本例門架之容量曲線(2F位移與1F基底剪力)。

1.LCM(LuChiMan綠奇門) 方法：

本例參考載重(reference load)，指定左右兩柱頂受向右0.5ton、基底剪力合計1.0ton，由彈性分析得門架側向位移與基底剪力之關係如表2，相關兩柱之彈性分析所得資料如表3。

表2  彈性分析_門架EB

表3  彈性分析_兩柱EB

應用前述公式，將兩柱之轉角θ與彎矩m轉成側向變位Δ與水平剪力v，再經彈性修正(Ref.-1)則EB+PH轉換後如下表4，其中JBC因子為柱頂轉換本身柱頂彎矩如前式8，故得1.00，則兩柱之EB+PH圖形分別如圖4。

表4  兩柱之EB+PH資料

圖4  兩柱之EB+PH圖形

節點強度是樑柱互制取小值者為控制，本例為弱柱強樑，所以柱之強度即代表節點者，如表4與圖4所示。

最後本例之容量曲線為以節點變位為位移事件點，將所對應得到節點強度相加得如表5，亦如圖6中之綠色方形實線。

表5  門架之容量曲線資料

2.CSI (ETABS程式) 方法：

CSI結構模型如圖5，參考載重為左右柱頂各0.5ton，同前EB與PH等基本資料輸入程式後，其中PH資料分別指定於兩柱頂。先跑彈性分析，再跑側推分析(Pushover)，得門架容量曲線如圖6中之紅色圓形實線。

比較LCM與CSI如圖6，兩者容量曲線完全重合，表LCM理論驗證可行。

最後我們再以案例2說明樑柱互制問題，本例除增加大樑之PH外，其餘均同前例1與圖3等說明，而大樑兩端之PH如下表6，兩柱之PH如前表1。同樣地，分別利用LCM與CSI等兩方法，求取本例門架之容量曲線(2F位移與1F基底剪力)。

1.LCM (LuChiMan綠奇門) 方法：

本例參考載重(reference load)同案例1，由彈性分析得門架側向位移與基底剪力之關係如表2，相關大樑之彈性分析所得資料如表7，柱者同前表3。 

表7  彈性分析_大樑EB

應用前述公式，將大樑之轉角θ與彎矩m轉成側向變位Δ與水平剪力v，再經彈性修正(Ref.-1)則EB+PH轉換後如下表8，柱者同前表4，其中大樑JBC因子為彎矩轉換柱頂者如前式7，因為單層邊樑與邊柱之彎矩相等，故亦得1.00，則樑與柱之EB+PH圖形分別如圖7中淺紅虛線與淺藍虛線，值得注意的是，兩者初始彈性斜率相同，這是經過節點轉換因子JBC修正後才如此。  

節點強度是樑柱互制取小值者為控制，找出兩者交點，則可判斷交點前(左)是強度小者為樑控制，交點後(右)是強度小者為柱控制，故節點容量EB+PH經樑柱合併比較得如表9，亦如圖8中之深綠實線。這表示先由2F大樑先降伏，再由1F柱頂降伏，最後由1F柱頂破壞控制。

表9  節點容量之EB+PH資料

圖8  節點容量之EB+PH圖形 

最後本例之容量曲線仍以節點變位為位移事件點，將所對應得到節點強度相加得如下表10，亦如後圖10中之綠色方形實線。 

表10  門架之容量曲線資料

2.CSI (ETABS程式) 方法：

CSI結構模型如圖9，將樑之PH基本資料輸入程式後，其餘同案例1，得門架容量曲線如圖10中之紅色圓形實線。

圖9  結構模型圖(CSI)		圖10  LCM與CSI比較

比較LCM與CSI如圖10，可看出降伏平台末端位移稍有誤差，LCM得平台寬度為4.81cm(12.993-8.183，如表10之降伏平台起始與末端等兩點變位)、而CSI反映出降伏平台寬度為6.48cm，直接等於為柱降伏平台寬度6.48(如前表4之BC等兩點差值為12.993-6.513)，LCM與CSI兩者誤差為1.67cm(=6.48-4.81)，此值恰巧為柱降伏平台起始點6.513cm(前表4)與樑柱交點8.183cm(表10)之差距寬度1.67cm(=8.183-6.513)。

我們合理判斷，因CSI是力法分析，意即其位移是對應而得的(Ref.-2)，非真正分析求得，所以其分析得到力量後，直接對應到柱降伏平台寬度6.48cm，未考慮其有1.67cm平台是由樑強度所控制(如圖8)，而LCM則有扣除，除此點之外，其餘兩者容量曲線幾乎重合，特別是強度力量均相同，表示LCM理論驗證可行並於處理互制問題是優於CSI者。

本報1194期曾提到，本文所發想的外內力平衡系統之矩形能量(Rectangular Energy)均為矩形，簡單易懂，非線性應用上只要加加減減就好，且可以正確計算外內之變位與力量等結果，並不馬虎；相對CSI強調力量的卸載正確分析、變位，僅為其對應並非解析所得，這也顯示矩形能量的可愛之處。

參考文獻

1.呂啟明（2019）。「矩形能量的可愛1.0-材料與幾何非線性之應用」，Pubu電子書城 或 amazon(亞馬遜，amazon.com)。

2.Computer  Structure  Inc.（2010）.「CSI Analysis Reference Manual」，CSI。

3.呂啟明（2019）。矩形能量應用於材料非線性，技師報，第1194。